Sur une conjecture de Mukai

Généralisant une question de Mukai, nous conjecturons qu'une variété de Fano X de nombre de Picard $\rho( X)$ et de pseudo-indice $i(X)$ vérifie $\rho( X) (i (X) - 1) \le \dim(X)$. Nous démontrons cette conjecture dans plusieurs situations: X est une variété de Fano de dimension le 4, X est une variété de Fano torique de dimension le 7 ou X est une variété de Fano torique de dimension arbitraire avec $i (X)\ge \dim(X) / 3 + 1$. Enfin, nous présentons une approche nouvelle pour le cas général.