Table des matières 1 Événements aléatoires et variables aléatoires 1 1.1 Événements et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Espérance et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Fonctions de répartition jointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Sommes et convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Lois de probabilités usuelles (à connaître par coeur) . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.1 Lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8.1 Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8.2 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Théorèmes limites et méthode de Monte-Carlo 31 2.1 Les di érentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 Application de la loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2.1 Dessin de la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2.2 Dessin de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.3 Théorème central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Application du TCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.4.1 Sondages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.4.2 Planche de Galton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Probabilités et espérances conditionnelles 49 3.1 Conditionnement dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Sommes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Probabilités conditionnelles dans le cas mélangé . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 i 3.4 Moments et loi d'une somme aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 Conditionnement par une variable continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6 Statistiques pour les nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.7.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.7.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4 Estimation et test d'hypothèse 71 4.1 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1.1 Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance . . . . . . . . . 71 4.1.2 Marge d'erreur associée à l'estimation de la moyenne et taille d'échantillon requise pour ne pas excéder la marge d'erreur . . . . . . . . . . . 72 4.1.3 Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance dans le cas d'un petit échantillon (n<30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.4 Estimation d'une proportion par intervalle de confiance . . . . . . . . . 74 4.1.5 Marge d'erreur associée à l'estimation de p et taille d'échantillon requise 75 4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2.1 Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2.2 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Liste des symboles 80 Index 83 A Table de la loi normale 83 B Table de la loi de Student 85 C Fonctions, intégrales et sommes usuelles 87 Bibliography 89 ii
