Algorithms solving variational inequalities
Le travail présenté dans ce mémoire est une contribution à l'étude des problèmes variationnels qui englobent les problèmes d'optimisation avec ou sans contraintes, les problèmes d'équilibre économique et de jeux, les problèmes de résolution d'équations et inéquations aux dérivées partielles, ainsi que de nombreux autres problèmes. La résolution d'une inéquation variationnelle comporte des difficultés liées d'une part au choix de l'algorithme de résolution, et d'autre part aux propriétés vérifiées par l'opérateur impliqué dans l'inéquation variationnelle. Dans ce mémoire, on propose de résoudre une inéquation variationnelle en utilisant l'algorithme itératif bâti sur le principe du problème auxiliaire ou, à chaque pas, on résoud un problème auxiliaire de minimisation. Sous la seule hypothèse de monotonie simple de l'opérateur, on ne peut pas prouver la convergence de cet algorithme. L'apport original du travail porte sur la prise en compte d'hypothèses minimales dans le cadre d'opérateurs généraux. D'une part, on donne une preuve de convergence dans le cas où l'opérateur global est défini sur le produit de deux espaces de Hilbert; il vérifie l'hypothèse de Dunn partielle par rapport à sa première composante (et a fortiori il est simplement monotone) et la forte monotonie par rapport à la deuxième composante. Comme application de ce jeu d'hypothèses général, nous pouvons traiter le cas d'opérateurs simplement monotones grâce à un nouvel algorithme de résolution/régularisation simultanées (versions parallèle et séquentielle): en effet l'opérateur global ainsi obtenu vérifie essentiellement les propriétés précédemment indiquées. D'autre part, on démontre la convergence du même algorithme dans le cas ou l'opérateur vérifie des hypothèses encore plus faibles que précédemment : on ne suppose même pas la monotonie globale de l'opérateur mais seulement la forte monotonie par rapport à la deuxième composante et l'hypothèse de Dunn pour l'opérateur emboité. La preuve que nous donnons se limite ici au cas particulier des opérateurs affines en dimension finie et sans contrainte d'ensemble admissible. ce travail est complété par des études numériques sur des exemples qui échappent typiquement aux jeux d'hypothèses rencontres dans des travaux antérieurs sur le même sujet.