Variétés symplectiques et variétés de Poisson
1 - Espaces vectoriels symplectiques 1. Forme bilinéaire antisymétrique sur un espace vectoriel 2. Orthogonalité symplectique 3. Réduction d'un espace vectoriel symplectique 4. Permutations canoniques 5. Le groupe symplectique 6. Structures complexes adaptées 2 - Variétés symplectiques 1. Variétés symplectiques 2. La forme de Liouville sur un fibré cotangent 3. Sous-variétés remarquables d'une variété symplectique 4. Symplectomorphismes 5. Champs de vecteurs hamiltoniens 6. Le crochet de Poisson 7. Réduction d'une variété symplectique 3 - Variétés de Poisson 1. Variétés de Poisson; propriétés élémentaires 31 2. Applications de Poisson 37 3. Quotient d'une variété symplectique ou de Poisson 38 4. Structure locale d'une variété de Poisson 42 5. Structure locale d'une variété symplectique 47 6. Feuilletage symplectique d'une variété de Poisson 48 4 - Les théorèmes de Darboux-Weinstein 1. Le lemme d'homotopie 2. Théorèmes de Weinstein 5 - Action d'un groupe de Lie sur une variété symplectique 1. Rappels sur les groupes de Lie 2. Action d'un groupe de Lie sur une variété 3. Actions symplectiques et actions hamiltoniennes 4. Propriétés élémentaires du moment 5. Equivariance du moment 6. Action d'un groupe de Lie sur son fibré cotangent 7. Moment d'une action hamiltonienne et application de Poisson 8. Réduction de variétés de niveau du moment 6 - Crochet de Schouten-Nijenhuis et variétés de Poisson 1. Notions générales sur les algèbres ${\bf Z}_2$-graduées et leurs endomorphismes 2. Algèbres extérieures sur une variété différentiable 3. Quelques dérivations bien connues 4. Le crochet de Schouten-Nijenhuis 5. Application aux variétés de Poisson Exercices et solutions